autograd 与逻辑回归

1、自动求导 (autograd)

在深度学习中，权值的更新是依赖于梯度的计算，因此梯度的计算是至关重要的。在 PyTorch 中，只需要搭建好前向计算图，然后利用torch.autograd自动求导得到所有张量的梯度。

torch.autograd.backward()

功能：自动求取梯度

  • tensors: 用于求导的张量，如 loss
  • retain_graph: 保存计算图。PyTorch 采用动态图机制，默认每次反向传播之后都会释放计算图。这里设置为 True 可以不释放计算图
  • create_graph: 创建导数计算图，用于高阶求导
  • grad_tensors: 多梯度权重。当有多个 loss 混合需要计算梯度时，设置每个 loss 的权重。
retain_graph 参数

代码示例：

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w = torch.tensor([1.], requires_grad=True)
x = torch.tensor([2.], requires_grad=True)
# y=(x+w)*(w+1)
a = torch.add(w, x)
b = torch.add(w, 1)
y = torch.mul(a, b)

# 第一次执行梯度求导
y.backward()
print(w.grad)
# 第二次执行梯度求导，出错
y.backward()

## 报错信息：RuntimeError: Trying to backward through the graph a second time, but the saved intermediate results have already been freed. Specify retain_graph=True when calling .backward() or autograd.grad() the first time.

其中y.backward()方法调用的是torch.autograd.backward(self, gradient, retain_graph, create_graph)。但是在第二次执行y.backward()时会出错。因为 PyTorch 默认是每次求取梯度之后不保存计算图的，因此我们第二次求导梯度时，计算图已经不存在了。报错信息提示我们在第一次求梯度时使用y.backward(retain_graph=True)即可。如下代码所示：

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w = torch.tensor([1.], requires_grad=True)
x = torch.tensor([2.], requires_grad=True)
# y=(x+w)*(w+1)
a = torch.add(w, x)
b = torch.add(w, 1)
y = torch.mul(a, b)

# 第一次求导，设置 retain_graph=True，保留计算图
y.backward(retain_graph=True)
print(w.grad)
# 第二次求导成功
y.backward()
grad_tensors 参数

代码示例：

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w = torch.tensor([1.], requires_grad=True)
x = torch.tensor([2.], requires_grad=True)

a = torch.add(w, x)
b = torch.add(w, 1)

y0 = torch.mul(a, b)    # y0 = (x+w) * (w+1)
y1 = torch.add(a, b)    # y1 = (x+w) + (w+1)    dy1/dw = 2

# 把两个 loss 拼接都到一起
loss = torch.cat([y0, y1], dim=0)       # [y0, y1]
# 设置两个 loss 的权重: y0 的权重是 1，y1 的权重是 2
grad_tensors = torch.tensor([1., 2.])

loss.backward(gradient=grad_tensors)    # gradient 传入 torch.autograd.backward()中的grad_tensors
# 最终的 w 的导数由两部分组成。∂y0/∂w * 1 + ∂y1/∂w * 2
print(w.grad)

结果为：tensor([9.])

该 loss 由两部分组成：$y{0}$ 和 $y{1}$。其中 $\frac{\partial y{0}}{\partial w}=5$，$\frac{\partial y{1}}{\partial w}=2$。而 grad*tensors 设置两个 loss 对 w 的权重分别为 1 和 2。因此最终 w 的梯度为：
$$
\frac{\partial y{0}}{\partial w} \times 1+ \frac{\partial y_{1}}{\partial w} \times 2=9
$$

torch.autograd.grad()

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torch.autograd.grad(outputs, inputs, grad_outputs=None, retain_graph=None, create_graph=False, only_inputs=True, allow_unused=False)

功能：求取梯度。

  • outputs: 用于求导的张量，如 loss
  • inputs: 需要梯度的张量
  • create_graph: 创建导数计算图，用于高阶求导
  • retain_graph:保存计算图
  • grad_outputs: 多梯度权重计算

torch.autograd.grad()的返回结果是一个 tuple，需要取出第 0 个元素才是真正的梯度。

下面使用torch.autograd.grad()求二阶导。在求一阶导时，需要设置 create_graph=True，让一阶导数 grad_1 也拥有计算图，然后再使用一阶导求取二阶导：

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x = torch.tensor([3.], requires_grad=True)
y = torch.pow(x, 2)     # y = x**2
# 如果需要求 2 阶导，需要设置 create_graph=True，让一阶导数 grad_1 也拥有计算图
grad_1 = torch.autograd.grad(y, x, create_graph=True)   # grad_1 = dy/dx = 2x = 2 * 3 = 6
print(grad_1)
# 这里求 2 阶导
grad_2 = torch.autograd.grad(grad_1[0], x)              # grad_2 = d(dy/dx)/dx = d(2x)/dx = 2
print(grad_2)

输出为：

1
2
(tensor([6.], grad_fn=<MulBackward0>),)
(tensor([2.]),)

需要注意的 3 点：

  • 在每次反向传播求导时，计算的梯度不会自动清零。如果进行多次迭代计算梯度而没有清零，那么梯度会在前一次的基础上叠加。

    代码示例：

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    w = torch.tensor([1.], requires_grad=True)
    x = torch.tensor([2.], requires_grad=True)
    # 进行 4 次反向传播求导，每次最后都没有清零
    for i in range(4):
        a = torch.add(w, x)
        b = torch.add(w, 1)
        y = torch.mul(a, b)
        y.backward()
        print(w.grad)

    结果为：

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    tensor([5.])
    tensor([10.])
    tensor([15.])
    tensor([20.])

    每一次的梯度都比上一次的梯度多 5，这是由于梯度不会自动清零而在上一次计算的梯度结果上累加。应使用w.grad.zero_()在每次梯度计算完后将梯度清零。

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    for i in range(4):
        a = torch.add(w, x)
        b = torch.add(w, 1)
        y = torch.mul(a, b)
        y.backward()
        print(w.grad)
        # 每次都把梯度清零
        # w.grad.zero_()

  • 依赖于叶子节点的节点，requires_grad 属性默认为 True。

  • 叶子节点不可执行 inplace 操作。

以加法来说，``inplace 操作有a += x，a.add_(x)，**改变后的值和原来的值内存地址是同一个**。非inplace 操作有a = a + x，a.add(x)`，改变后的值和原来的值内存地址不是同一个。

代码示例：

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print("非 inplace 操作")
a = torch.ones((1, ))
print(id(a), a)
# 非 inplace 操作，内存地址不一样
a = a + torch.ones((1, ))
print(id(a), a)

print("inplace 操作")
a = torch.ones((1, ))
print(id(a), a)
# inplace 操作，内存地址一样
a += torch.ones((1, ))
print(id(a), a)

结果为：

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非 inplace 操作
1743355122752 tensor([1.])
1743355124032 tensor([2.])
inplace 操作
1743355122688 tensor([1.])
1743355122688 tensor([2.])

如果在反向传播之前 inplace 改变了叶子节点的值，再执行 backward() 会报错。

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w = torch.tensor([1.], requires_grad=True)
x = torch.tensor([2.], requires_grad=True)
# y = (x + w) * (w + 1)
a = torch.add(w, x)
b = torch.add(w, 1)
y = torch.mul(a, b)
# 在反向传播之前 inplace 改变了 w 的值，再执行 backward() 会报错
w.add_(1)
y.backward()

这是因为在进行前向传播时，计算图中依赖于叶子节点的那些节点，会记录叶子节点的地址，在反向传播时就会利用叶子节点的地址所记录的值来计算梯度。比如在 $y=a \times b$ ，其中 $a=x+w$，$b=w+1$，$x$ 和 $w$ 是叶子节点。当求导 $\frac{\partial y}{\partial a} = b = w+1$，需要用到叶子节点 $w$。

2、逻辑回归 (Logistic Regression)

逻辑回归是线性的二分类模型。模型表达式：
$$
y=f(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}
$$
其中 $z=WX+b$。$f(z)$ 称为 sigmoid 函数，也被称为 Logistic 函数。函数曲线如下：(横坐标是 $z$，而 $z=WX+b$，纵坐标是 $y$)。

分类原则：当$y<0.5$时，类别为0（class=0）；当 $0.5 \leq y$ 时，类别为 1（class=1）。

其中 $z=WX+b$ 就是原来的线性回归的模型。从横坐标来看，当 $z<0$ 时，类别为 0；当 $0 \leq z$ 时，类别为 1，直接使用线性回归也可以进行分类。逻辑回归是在线性回归的基础上加入了一个 sigmoid 函数，这是为了更好地描述置信度，把输入映射到 (0,1) 区间中，符合概率取值。

逻辑回归也被称为对数几率回归 $\ln \frac{y}{1-y}=W X+b$，几率的表达式为：$\frac{y}{1-y}$，$y$ 表示正类别的概率，$1-y$ 表示另一个类别的概率。根据对数几率回归可以推导出逻辑回归表达式：

$\ln \frac{y}{1-y}=W X+b$ $\frac{y}{1-y}=e^{W X+b}$ $y=e^{W X+b}-y * e^{W X+b}$ $y\left(1+e^{W X+b}\right)=e^{W X+b}$ $y=\frac{e^{W X+b}}{1+e^{W X+b}}=\frac{1}{1+e^{-(W X+b)}}$

PyTorch 实现逻辑回归

PyTorch 构建模型的 5 大步骤：
  • 数据：包括数据清洗，数据读取，进行数据划分和数据预处理，比如读取图片如何预处理及数据增强。
  • 模型：包括构建模型模块，组织复杂网络，初始化网络参数，定义网络层。
  • 损失函数：包括创建损失函数，设置损失函数超参数，根据不同任务选择合适的损失函数。
  • 优化器：包括根据梯度使用某种优化器更新参数，管理模型参数，管理多个参数组实现不同学习率，调整学习率。
  • 迭代训练：组织上面 4 个模块进行反复训练。包括观察训练效果，绘制 Loss/ Accuracy 曲线，用 TensorBoard 进行可视化分析。

代码示例：

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import torch
import torch.nn as nn
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
torch.manual_seed(10)

# ============================ step 1/5 生成数据 ============================
sample_nums = 100
mean_value = 1.7
bias = 1
n_data = torch.ones(sample_nums, 2)
# 使用正态分布随机生成样本，均值为张量，方差为标量
x0 = torch.normal(mean_value * n_data, 1) + bias      # 类别0 数据 shape=(100, 2)
# 生成对应标签
y0 = torch.zeros(sample_nums)                         # 类别0 标签 shape=(100, 1)
# 使用正态分布随机生成样本，均值为张量，方差为标量
x1 = torch.normal(-mean_value * n_data, 1) + bias     # 类别1 数据 shape=(100, 2)
# 生成对应标签
y1 = torch.ones(sample_nums)                          # 类别1 标签 shape=(100, 1)
train_x = torch.cat((x0, x1), 0)
train_y = torch.cat((y0, y1), 0)

# ============================ step 2/5 选择模型 ============================
class LR(nn.Module):
    def __init__(self):
        super(LR, self).__init__()
        self.features = nn.Linear(2, 1)
        self.sigmoid = nn.Sigmoid()

    def forward(self, x):
        x = self.features(x)
        x = self.sigmoid(x)
        return x

lr_net = LR()   # 实例化逻辑回归模型

# ============================ step 3/5 选择损失函数 ============================
loss_fn = nn.BCELoss()

# ============================ step 4/5 选择优化器   ============================
lr = 0.01  # 学习率
optimizer = torch.optim.SGD(lr_net.parameters(), lr=lr, momentum=0.9)

# ============================ step 5/5 模型训练 ============================
for iteration in range(1000):

    # 前向传播
    y_pred = lr_net(train_x)
    # 计算 loss
    loss = loss_fn(y_pred.squeeze(), train_y)
    # 反向传播
    loss.backward()
    # 更新参数
    optimizer.step()
    # 清空梯度
    optimizer.zero_grad()
    # 绘图
    if iteration % 20 == 0:
        mask = y_pred.ge(0.5).float().squeeze()  # 以0.5为阈值进行分类
        correct = (mask == train_y).sum()  # 计算正确预测的样本个数
        acc = correct.item() / train_y.size(0)  # 计算分类准确率

        plt.scatter(x0.data.numpy()[:, 0], x0.data.numpy()[:, 1], c='r', label='class 0')
        plt.scatter(x1.data.numpy()[:, 0], x1.data.numpy()[:, 1], c='b', label='class 1')

        w0, w1 = lr_net.features.weight[0]
        w0, w1 = float(w0.item()), float(w1.item())
        plot_b = float(lr_net.features.bias[0].item())
        plot_x = np.arange(-6, 6, 0.1)
        plot_y = (-w0 * plot_x - plot_b) / w1

        plt.xlim(-5, 7)
        plt.ylim(-7, 7)
        plt.plot(plot_x, plot_y)

        plt.text(-5, 5, 'Loss=%.4f' % loss.data.numpy(), fontdict={'size': 20, 'color': 'red'})
        plt.title("Iteration: {}\nw0:{:.2f} w1:{:.2f} b: {:.2f} accuracy:{:.2%}".format(iteration, w0, w1, plot_b, acc))
        plt.legend()
        # plt.savefig(str(iteration / 20)+".png")
        plt.show()
        plt.pause(0.5)
        # 如果准确率大于 99%，则停止训练
        if acc > 0.99:
            break

训练的分类直线的可视化如下：